Division par 11 - Corrigé

Énoncé

Soit  \(a\) un entier naturel tel que \(70 \leqslant a \leqslant 140\) .

La division euclidienne de  \(a\) par  \(11\) donne pour reste \(5\) .

Quelles sont les valeurs possibles pour \(a\)  ?

Solution

La division euclidienne de  \(a\) par  \(11\) s'écrit : \(a=11q+5\) avec \(q \in \mathbb{Z}\) .

De plus :
\(\begin{align*} 70 \leqslant a \leqslant 140 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 70 \leqslant 11q+5 \leqslant 140 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 65 \leqslant 11q \leqslant 135 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \frac{65}{11} \leqslant q \leqslant \frac{135}{11} \end{align*}\)  

avec \(\dfrac{65}{11}\approx 5,9\) et \(\dfrac{135}{11} \approx 12,3\) .

Ainsi, \(q \in \left\lbrace 6 \ ; 7 \ ; 8 \ ; 9 \ ; 10 \ ; 11 \ ; 12 \right\rbrace\) et \(a \in \left\lbrace 71 \ ; 82 \ ; 93 \ ; 104 \ ; 115 \ ; 126 \ ; 137 \right\rbrace\) .